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手征对称性 Chiral Symmetry

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手征对称性和手性算符

手征对称性的基本定义

在量子力学中，一个系统由哈密顿量H^\hat{H}描述，其对称性往往通过某种算符来刻画。如果存在一个幺正算符Γ^\hat{\Gamma}（手征算符），满足

Γ^H^Γ^†=−H^\hat{\Gamma}\hat{H}\hat{\Gamma}^{\dagger}=-\hat{H}

手征算符Γ^\hat{\Gamma}需满足Γ^2=I\hat{\Gamma}^2=I，且为厄米算符 Γ^†=Γ^\hat{\Gamma}^\dagger=\hat{\Gamma}

这一性质说明，在Γ^\hat{\Gamma}的作用下，哈密顿量的符号发生反转，即正能态与负能态相互对应。对于具有该对称性的系统，我们通常称其为手征对称系统或子晶格对称系统（两者在厄米情况下常常等价）

能谱对称性与零能态保护

零能态

可以证明：如果∣ψ⟩|\psi\rangle是H^\hat{H}的本征态，对应本征值EE，即H^∣ψ⟩=E∣ψ⟩\hat{H}|\psi\rang=E|\psi\rang。那么Γ^∣ψ⟩\hat{\Gamma}|\psi\rangley也是H^\hat{H}的本征态，对应本征值−E-E，因为H^(Γ^∣ψ⟩)=E(Γ^∣ψ⟩)\hat{H}(\hat{\Gamma}|\psi\rang)=E(\hat{\Gamma}|\psi\rang)

这就导致能谱关于零能对称，也就是说正负能态成对出现。

零能态E=0E=0在此框架下往往具有拓扑保护意义——局部扰动在不破坏手征对称性的情况下，无法将零能态移出零能，从而使其在边界态、缺陷态等问题中起到特殊作用（如SSH模型的边界态）。

拓扑不变量

手征对称性允许定义缠绕数（Winding Number）。例如，在SSH模型中，缠绕数W=12πi∫Tr[H^−1dH^]W=\frac{1}{2\pi i}\int \text{Tr}[\hat{H}^{-1}d\hat{H}]，其值区分拓扑平庸与非平庸相（如W=1对应拓扑相）

两带体系中的手征对称性

以二维两带系统为例，其动量空间哈密顿量可以写成

H^(k)=d0(k)σ0+dx(k)σx+dy(k)σy+dz(k)σz,\hat{H}(k)=d_0(k)\sigma_0 + d_x(k)\sigma_x + d_y(k)\sigma_y + d_z(k)\sigma_z,

其中σ0\sigma_0是 2×22×2单位矩阵，σx,y,z\sigma_{x,y,z}是泡利矩阵。

常选取手征算符为

Γ^=σz\hat{\Gamma}=\sigma_z

则要求

σzH^(k)σz=−H^(k)\sigma_z\hat{H}(k)\sigma_z=-\hat{H}(k)

利用泡利矩阵的反对易性质，可以验证：

对角元部分d0(k)d_0(k)与dz(k)d_z(k)必须为0

剩余部分dx(k)d_x(k)和dy(k)d_y(k)则满足

σzσx,yσz=−σx,y\sigma_z\sigma_{x,y}\sigma_z = -\sigma_{x,y}

因此，两带系统满足手征对称性的哈密顿量可写为

H^(k)=dx(k)σx+dy(k)σy\hat{H}(k)=d_x(k)\sigma_x + d_y(k)\sigma_y

或写成矩阵形式

H^(k)=(0h(k)h∗(k)0), h(k)=dx(k)−idy(k).\hat{H}(k)=\begin{pmatrix}0&h(k)\\h^*(k)&0\end{pmatrix},\ h(k)=d_x(k)-id_y(k).

但具体形式依赖表象选择。例如，在子晶格基矢下，σz\sigma_z对应子晶格投影；若基矢变换，手征算符可能变为其他泡利矩阵的组合

手征对称性也称为子晶格对称性（Sublattice Symmetry），因其常出现在由两个子晶格构成的系统中（如石墨烯、SSH模型），哈密顿量在子晶格基矢下呈现分块反对角形式。此时 Γ^=σz⊗I\hat{\Gamma}=\sigma_z\otimes I（二维情况）

拓展到更一般的系统

多能带和高维情形

在多能带（超过两带）的体系中，若系统具有手征对称性，则通常可以找到一个适当的基底，在这个基底下哈密顿量可分块写成反对角形式

H^=(0HABHAB†0)\hat{H}=\begin{pmatrix}0&H_{AB}\\H_{AB}^{\dagger}&0\end{pmatrix}

这种分块结构反映了系统可视为由两个互补子空间组成，且仅在不同子空间间存在耦合。在偶数维情况下，手征算符常可以取为类似于σz\sigma_z与单位矩阵的张量积；而在奇数维系统中，有时需要引入广义手征对称性（generalized chiral symmetry），使得概念得以延伸。例如，三带系统可引入分块结构，如H^=(0A0A†0B0B†0)\hat{H}=\begin{pmatrix}0&A&0\\A^{\dagger}&0&B\\0&B^{\dagger}&0\end{pmatrix}，并定义分块手征算符。

与其他对称性的关系

粒子-空穴与时间反演对称性：手征对称性可表示为C=P⋅T，其中P（粒子-空穴）和T（时间反演）分别作用在不同自由度（如自旋或轨道空间）。在SSH模型中，C直接对应σz\sigma_z

空间对称性：手征对称性可与空间对称性（如镜面反射）结合，导致高阶拓扑态。例如，二维BDI类系统中，手征对称性与镜面对称性共同保护角态（Corner States）