Landauer公式(一)

Landauer 公式推导

Landauer 公式描述了一维无序导体的电导，它与散射波的透射T和反射R系数的比值有关。其基本形式为：

$$G = \left(\frac{e^{2}}{2m\cdot A}\right)\frac{T}{R}$$

在大多数情况下，标准化后的 Landauer 公式通常写作：

$$G=G_0\frac{T}{R}= \frac{e^{2}}{2 \pi \hbar}\frac{T}{R}$$

其中$G_0 = \frac{e^{2}}{2 \pi \hbar}$是基本量子电导值。

该公式可以从线性响应理论（Kubo 公式）严格推导出来，并且可以推广到多个散射通道（many-scattering-channel）的情况。

Landauer 公式的核心思想是，将电子输运视为量子散射问题，电导是由电子穿过导体的透射系数决定的。

单通道情况：

电子在导体中受到散射，部分透射、部分反射。电导G 由透射系数T 和反射系数R 控制。当 $T \gg R$时，电导较高；当 $R \gg T$ 时，电导趋于零。

多通道情况：

当导体足够宽，或者在高能量下，电子可以通过多个散射通道传播。在一般情况下，这些通道的贡献是耦合的，因此无法简单地用独立通道的透射系数之和来表示电导。

Kubo 公式

Kubo 公式是基于线性响应理论推导出来的，它描述了当一个系统受到微扰（例如外加电场）时，其物理量（例如电流）的响应关系。

对于电导，Kubo 公式的基本形式是：

$$G = \lim_{\omega \to 0} \frac{e^{2}}{\hbar} \sum_{i,j} v_i \chi_{ij}(\omega) v_j$$

$χij(ω)$ 是速度-速度关联函数，它描述了系统在微扰作用下速度算符的关联性，并依赖于频率 $\omega$。$v_i,v_j$是电子的速度算符分量。

线性响应理论

在输运理论中，我们通常研究系统在外界微扰下的响应。假设系统受到一个时间依赖的外部微扰 $H'$：

$$H^{\prime}(t)=-eE_x x$$

$E_x$ 是沿$x$ 方向的外加电场。$x$是电子的坐标。

在该微扰作用下，系统的电流$J_x$由线性响应理论给出：

$$J_x(t)=\int_{-\infty}^{t} \sigma(t - t')E_x(t')dt'$$

$\sigma(t−t^′)$ 是电导率的时间相关函数。

在频域中，上式可以写成：

$$J_x(\omega)=\sigma(\omega)E_x(\omega)$$

其中$\sigma(\omega)$是电导率的频率依赖函数。

根据线性响应理论，电导率可以由速度-速度关联函数 $χ_{ij}(ω)$计算得到：

$$\sigma(\omega)=\frac{e^{2}}{\hbar i\omega}\chi_{xx}(\omega)$$

进而，电导可以表示为：

$$G = \lim_{\omega \to 0} \frac{e^{2}}{\hbar} \sum_{i,j} v_i \chi_{ij}(\omega) v_j$$

速度-速度关联函数$\chi_{ij}(\omega)$

速度-速度关联函数 **$\chi_{ij}(\omega)$**反映了电子速度的涨落如何随时间演化，并且受电子散射过程的影响。它的定义是：

$$\chi_{ij}(\omega)=\int_{0}^{\infty} e^{i\omega t} \left\langle [J_i(t),J_j(0)] \right\rangle dt$$

$J_i(t)$ 是电流算符，通常定义为：

$$J_i = e\sum_{n} v_{n,i}$$

其中 $v_{n,i}$是电子在态n 的速度算符。

由于电子在无序系统中传播时会受到散射，$\chi_{ij}(\omega)$也依赖于散射的特性。因此，Kubo 公式能够将散射效应纳入电导计算中。

Kubo 公式与 Landauer 公式

Kubo 公式给出的电导是通过速度关联函数计算的，而 Landauer 公式从散射理论出发，将电导与电子的透射概率 T 直接联系起来。

通过数学推导可以证明：

$$\chi_{ij}(\omega)\sim T$$

从而得到：

$$G = G_0\frac{T}{R}$$

其中 $G_0 = \frac{e^{2}}{2 \pi \hbar}$是基本量子电导。

这表明 Kubo 公式和 Landauer 公式是等价的，只是计算方法不同:Kubo 公式 采用线性响应理论，从微扰理论出发，计算电流的关联函数来得到电导。Landauer 公式 从散射理论出发，直接利用透射系数来计算电导。

ω是谁的频率

在 Kubo 公式中， $\omega$ 是外部微扰（如电场）随时间变化的角频率。

Kubo 公式来源于线性响应理论，假设系统受到一个微小的、时间依赖的外部电场$E_x (t)$，例如：

$$E_x(t)=E_0e^{-i\omega t}$$

这里的 $\omega$ 就是外部电场随时间变化的角频率。在这一微扰下，系统的电流响应 $J_x (t)$ 也会随时间变化，导致电导率$\sigma(\omega)$依赖 $\omega$。

直流电导指的是$\omega \to 0$的极限，即系统在一个恒定电场（$\omega \to 0$）下的响应。因此，在计算 Kubo 公式的电导时

$$G = \lim_{\omega \to 0} \frac{e^{2}}{\hbar} \sum_{i,j} v_i \chi_{ij}(\omega) v_j$$

这样就得到直流（零频率）电导。

$χ_{ij}(ω)∼T$证明

速度-速度关联函数 $\chi_{ij}(\omega)$ 定义为

$$\chi_{ij}(\omega)=\int_{0}^{\infty} e^{i\omega t} \left\langle [J_i(t),J_j(0)] \right\rangle dt$$

这个公式表明，电导是由电流涨落（速度关联）决定的。而电流的涨落（即$\chi_{ij}(\omega)$）直接受散射过程影响。

根据散射理论，速度关联函数可以通过散射矩阵S 表示：

$$\chi_{ij}(\omega)\propto\sum_{m,n}(S_{mn}-\delta_{mn})(S_{mn}^*-\delta_{mn})$$

$S_{mn}$ 是散射矩阵的元，表示入射通道n 传播到出射通道m 的振幅。

透射概率由散射矩阵的非对角元给出：

$$T = \sum_{m,n} |S_{mn}|^2$$

反射概率由散射矩阵的对角元给出：

$$R = \sum_{n} |S_{nn}|^2$$

由于电流的涨落主要来源于透射（即 $S_{mn}$的贡献），因此速度-速度关联函数与透射系数 T 成正比。

多通道 Landauer 公式的推导

设系统有多个通道，记 $\alpha$不同的电子传输模式。

定义 $P_L^\alpha$ 和 $P_R^\alpha$分别为在通道 $\alpha$上，从左（L）和右（R）入射的波的概率。那么在左侧（L），通道 $\alpha$上的电流 $j_L^\alpha$ 和电子密度 $n_L^\alpha$ 可以表示为：

$$j_L^{\alpha}=v_{\alpha}\left(P_L^{\alpha}+\sum_{\beta}R_{\alpha\beta}P_L^{\beta}+\sum_{\beta}T_{\alpha\beta}P_R^{\beta}\right)$$

$$n_L^{\alpha}=P_L^{\alpha}+\sum_{\beta}R_{\alpha\beta}P_L^{\beta}+\sum_{\beta}T_{\alpha\beta}P_R^{\beta}$$

$v_α$ 是通道 $\alpha$ 上的电子速度，$R_{\alpha \beta}$是从通道 β 反射到通道 α 的反射系数， $T_{\alpha \beta}$ 是从右侧通道 β 透射到左侧通道 α 的传输系数。

在右侧（R）的情况类似，可以写成矩阵形式：

$$\frac{j_R}{v}=TP_L+(R - I)P_R$$

$$n_R = TP_L+(R + I)P_R$$

这里I 是单位矩阵。

传输矩阵与 S 矩阵的关系

传输和反射概率是散射矩阵（S 矩阵）元素的平方：

$$T_{\alpha\beta}=|t_{\alpha\beta}|^2,\quad R_{\alpha\beta}=|r_{\alpha\beta}|^2$$

如果系统满足时间反演对称性，则有

$$T_{\alpha\beta}=T_{\beta\alpha} ,\quad R_{\alpha\beta}=R_{\beta\alpha}$$

我们可以用矩阵表示这一对称性，例如：

$$t_{L,R}=t_{R,L}^T$$

这意味着从左向右和从右向左的散射振幅是相关的。

由于 S 矩阵是幺正的，这些传输和反射振幅满足一系列关系。例如，单位散射矩阵S由传输矩阵T 和反射矩阵R 组成，具有幺正性：

$$S = \begin{bmatrix} r & t' \\ t & r' \end{bmatrix}$$

满足

$$S^{\dagger}S = I$$

从而传输和反射矩阵的元素不能随意取值，而是受到幺正性约束。

消去概率项P

定义左侧和右侧的电子密度：

$$n_L^{\alpha}=P_L^{\alpha}+\sum_{\beta}R_{\alpha\beta}P_L^{\beta}+\sum_{\beta}T_{\alpha\beta}P_R^{\beta}$$

$$n_R^{\alpha}=\sum_{\beta}T_{\alpha\beta}P_L^{\beta}+\sum_{\beta}(R_{\alpha\beta}+\delta_{\alpha\beta})P_R^{\beta}$$

为了消去P 相关的项，我们对这些方程进行代数操作，最终得到密度差$\Delta n$和电动势之间的关系：

$$n_L - n_R=\Delta n=\frac{e\mathcal{E}}{k_BT}$$

这个表达式表明，电子密度梯度驱动了电动势的产生。

通过代数关系消去P

$$\frac{1}{2}(1 + R^L)(j^L/v)-\frac{1}{2}T^R(j^R/v)=\frac{1}{2}(1 - R^L)n^L-\frac{1}{2}T^R n^R$$

$$\frac{1}{2}(1 + R^R)(j^R/v)-\frac{1}{2}T^L(j^L/v)=\frac{1}{2}T^L n^L-\frac{1}{2}(1 - R^R)n^R$$

得到的这两个公式描述了介质左右两侧理想导体导线中的电流和密度之间的关系。

假设了相同的通道具有相同的能量 $\varepsilon$ 和态密度。由于幺正性和时间反演不变性：

$$\begin{aligned} 1 & =\sum_b\left(R_{b a}^{L, R}+T_{b a}^{L, R}\right) \\ & =\sum_b\left(R_{a b}^{L, R}+T_{a b}^{R, L}\right) . \end{aligned}$$

进一步化简得到：

$$j_a^L+\sum_b R_{a b}^L j_b^L-\sum_b T_{a b}^R j_b^R=\frac{e}{\pi \hbar} \sum_b T_{a b}^R \mathcal{E}$$

$$j_a^R+\sum_b R_{a b}^R j_b^L-\sum_b T_{a b}^L j_b^R=\frac{e}{\pi \hbar} \sum_b T_{a b}^L \mathcal{E} .$$

在单通道的情况下，上面两个式子中所有带R（右）和L（左）下标的物理量都是相等的

$$j^R=j^L=G \mathcal{E} / e=(e / 2 \pi \hbar)(T / R) \mathcal{E}$$

这两个公式描述了多通道系统中电流与散射矩阵（反射、透射系数）的关系。但在一般情况下，由于通道之间存在复杂的耦合与相互作用，很难将不同通道 “解耦”。

假设：当电流 “与通道无关” 时，系统进入一种简化状态。此时，每个通道的电流相等，即 $j_{a}^{R} = j_{a}^{L} = j/N$。其中，j 是总电流，N 是通道数。这一假设忽略了通道间的差异，使得数学处理更简单。成立的充要条件是透射矩阵 T 满足$\sum_b T_{b s}^L=\sum_b T_{b a}^R=\text { const } .$

将刚才得到的两个公式相加，结合幺正性和时间反演不变性，最终推导出电导公式：

$$G = \frac{e j}{\mathcal{S}} = \frac{e^{2}}{2 \pi \hbar} \frac{\mathcal{T}}{1 - \mathcal{T}/N}$$

其中， $\mathcal{T} = \frac{1}{2} \sum_{ab} (T_{ab}^{L} + T_{ab}^{R})$，表示对左、右导线透射系数的统计平均。

由于研究对象是 “特定的无序结构”，无序会导致通道间的散射特性复杂且不均匀，很难满足 $T_{ab}$ 为常数这一理想条件。因此，“恒流情况” 在实际无序体系中极少出现，公式$G = \frac{e j}{\mathcal{S}} = \frac{e^{2}}{2 \pi \hbar} \frac{\mathcal{T}}{1 - \mathcal{T}/N}$ 更多是用于对大 N 体系输运行为的近似估计，而非描述真实无序体系的普遍情况。

在一般无序体系中，可预期单个通道电流$j_{a} \sim O(1/N)$（即单个通道电流随通道数增加而趋于零）。当通道数 N 趋于无穷大时，当前推导的公式简化为标度理论所使用的公式。

$$G_{N \to \infty}=\frac{e^{2}}{2 \pi \hbar}\mathcal{T}$$

这表明在通道数足够多的宏观极限下，系统的输运行为会呈现出更普适的规律。在前面的推导过程中，假设了相同通道具有相同的速度 v 和态密度。但实际上这个公式具有一定的普适性，不依赖于这个简化假设。

通过 Kubo 公式的推导

$$G=G_0\frac{T}{R}= \frac{e^{2}}{2 \pi \hbar}\frac{T}{R}$$

是 Landauer 公式，描述了一维无序导体的电导与透射、反射系数的关系

$$j_a^L+\sum_b R_{a b}^L j_b^L-\sum_b T_{a b}^R j_b^R=\frac{e}{\pi \hbar} \sum_b T_{a b}^R \mathcal{E}$$

$$j_a^R+\sum_b R_{a b}^R j_b^L-\sum_b T_{a b}^L j_b^R=\frac{e}{\pi \hbar} \sum_b T_{a b}^L \mathcal{E} .$$

是多通道情况下电流与透射、反射系数及其他物理量的关系表达式。

设想有一根无限长的细丝，其中包含一维非相互作用的电子气。将靠近原点的一段有限长度的无序区域视为 “样品”，其余部分为 “导线”。假设导线是均匀的，对直流电流没有电阻。绝热地施加一个振荡的电动势$\delta(\omega) \propto e^{-i(\omega + i\eta)t}$ 。

电流$j(x)$表达式为

$$\begin{aligned} j(x) & =\int_{-\infty}^{\infty} d x^{\prime} F\left(x, x^{\prime}\right) E\left(x^{\prime}\right) \\ & =\int_{\text {sample }} d x^{\prime} F\left(x, x^{\prime}\right) E\left(x^{\prime}\right)+\int_{\text {leads }} d x^{\prime} F\left(x, x^{\prime}\right) E\left(x^{\prime}\right), \end{aligned}$$

$E(x)$是电场，且 $E \propto e^{-i(\omega + in)t}$。$F(x, x')$是一个与系统性质相关的量，它由电流算符的矩阵元和系统的激发能决定 。该公式表明电流 $j(x)$是通过对空间各点 $x'$处的 $F(x, x')$与 $E(x')$的乘积进行积分得到的，并且将积分区域分为样品和导线两部分。

在实际导线（或大量通道极限下）的相互作用电子体系中，电场$E(x)$自洽确定，与电子分布和运动相互影响。单通道或少数通道、非相互作用电子体系原则上可施加任意电场，但多数电场无法使系统达稳态，因为模型中的导线电子以弹道式运动（无散射）。为模拟真实导线，所以在导线中施加时空依赖的电场以实现稳态。

最终稳态电场需满足样品两端无感应电荷密度差，即总电动势$\int E\,\text{d}x$由外场决定。

即使在无相互作用的情况下，$E(x)$ 也不能事先知道，因为它依赖于样品的微观细节。但在趋于稳态极限（ $\omega \to 0$）时，可以足够严格地确定$E(x)$  以计算样品的电导G。

由于电流连续性方程，稳态时电流 $j(x)$ 在整个系统中是恒定的。

$$j=\sigma(\omega)E_{\mathrm{~leads}}$$

$σ(ω)$ 是电导率，

当 $\omega \to 0$ 时，$\sigma(\omega) \propto \frac{i}{\omega + i\eta}$其中 $\eta$是正实数，虚部表明电流响应滞后于电场，对应无耗散的储能行为（类似电感）。实部为零说明导线对直流（$\omega=0$）无电阻（理想导体）。

Drude 模型中 $\sigma(\omega) = \frac{\sigma_0}{1 - i\omega\tau}$（$\sigma_0$为直流电导率，$\tau$ 为弛豫时间），但此处假设无散射（$\tau \to \infty$），故 $\sigma(\omega) \propto \frac{i}{\omega}$。

尽管 $\sigma(\omega) \to \infty$当 $\omega \to 0$，但 $E_{\text{leads}} \to 0$ 的速度足够快，使得乘积 $\sigma(\omega) E_{\text{leads}}$ 保持有限，从而保证电流 j 为常数。

响应函数 $F(x, x')$

当 $\omega \to 0$且 $x, x'$有限时，$F(x, x') \to \frac{1}{2\pi} T$，其中 T 是样品的透射系数（单位设置为 $e^2 = \hbar = 1$）
$F(x, x')$描述电流对电场的线性响应，其极限值仅与样品的透射特性有关，与导线无关。这表明在低频极限下，电流响应由样品的散射过程主导。它用于刻画在位置 $x'$ 处的电场如何在位置 $x$ 处引起电流响应。

在满足之前的极限情况时，$F(x,x')$ 趋近于$\frac{1}{2 \pi} T$。透射概率越大，$F(x,x')$的值越大，意味着相同电场下引起的电流响应越强。

公式中特别指出$F(x,x')$ 与 $x$ 和 $x'$ 无关，这是因为在无序区域内的电子场表现出均匀的特性。

电动势

电动势$\mathcal{E}$ 由样品区域内的电场积分得到：

$$\mathcal{E}=\int_\mathrm{sample}E(x)dx$$

当$\omega \to 0$ 时，样品区域内的电场$E(x)$消失，但仍然可以通过这个积分定义有效的电动势。

结合$j=\sigma(\omega)E_{\mathrm{~leads}},F(x, x') \to \frac{1}{2\pi} T,\mathcal{E}=\int_\mathrm{sample}E(x)dx$得到

$$j=\frac{1}{2\pi}T\mathcal{E}+\left(\frac{1}{\sigma(\omega)}\int_{\mathrm{leads}}dx^{\prime}F(x,x^{\prime})\right)j$$

其中$\omega \to 0$已经隐含在公式中。此处的第二项包含因子$1/\sigma(\omega)$，看似可以被直接忽略，因为$\sigma(\omega) \sim i / (\omega + i\eta)$ 在 $\omega \to 0$ 时趋于无穷大。然而，由于积分项是在整个导线区域上求和，若直接忽略这一项会导致不定形式（$\infty \times 0$）。因此，需要进一步分析它的极限行为。

用到一个关键的积分关系：

$$\int_{\mathrm{leads}}dx^{\prime}F(x,x^{\prime})\to T\sigma(\omega)$$

由于$\sigma(\omega) \sim i/(\omega + i\eta)$，所以这部分在 $\omega \to 0$ 时的行为类似于$1/\sigma(\omega)$ 使得第二项收敛，并不会产生不定形式。因此，解出j 得到：

$$\frac{j}{\mathcal{E}}\equiv G=\frac{1}{2\pi}\frac{T}{1-T}=\frac{1}{2\pi}\frac{T}{R}$$

表明电导G 由透射系数T 决定。

电流$j(x)$多通道表达

$$\begin{aligned}j_a(x)&=\int_{\mathrm{sample}}dx^{\prime}\sum_bF_{ab}(x,x^{\prime})E(x^{\prime})\\&+\int_{1\mathrm{eads}}dx^{\prime}\sum_bF_{ab}(x,x^{\prime})E_b(x^{\prime})\end{aligned}$$

$$F_{ab}(x,x^{\prime})=F_{ab}(x,x^{\prime};\omega)+F_{ab}^*(x,x^{\prime};-\omega)$$

$$\mathcal{F}_{ab}(x,x^{\prime};\omega)=\sum{\alpha\beta}\frac{J_{\alpha\beta}^a(x)J_{\beta\alpha}^b(x^{\prime})}{i\omega_{\beta\alpha}(\omega_{\beta\alpha}-\omega-i\eta)}$$

$\epsilon_{\beta}$和 $\epsilon_{\alpha}$是态 $\beta$和 $\alpha$的单粒子能量，$\epsilon_F$是费米能，满足$\epsilon_{\beta} > \epsilon_F > \epsilon_{\alpha},$$\omega_{\beta\alpha} = \epsilon_{\beta} - \epsilon_{\alpha}$ 是跃迁能量差。

仅考虑电子从占据态 $\alpha$（$\epsilon_{\alpha} < \epsilon_F$）跃迁到未占据态$\beta$（$\epsilon_{\beta} > \epsilon_F$）的情况，这是费米分布下电流响应的主要贡献。

通道 a 在位置 x 处的电流算符表示为

$$J^{a}(x)=\frac{1}{2 m}[p \delta(x-q)+\delta(x-q) p]|a\rangle\langle a|$$

$\delta(x-q)$：位置算符，定位在位置 q 处的电子。通道 a 的电流算符通过 $|a\rangle\langle a|$定义。

本征态$\psi_{\alpha},\alpha = \{a, k, \sigma\}$，不同散射路径$a$，波矢$k = \sqrt{2m\epsilon_{\alpha}} > 0$，方向符号$\sigma = \pm 1$：

满足归一化条件和完备性关系：

$$(\psi_{\alpha},\psi_{\alpha'}) = 2\pi\delta(k - k')\delta_{a,a'}\delta_{\sigma,\sigma'}$$

$$\sum_{\alpha}\psi_{\alpha}(x)\psi_{\alpha}^(x')\equiv\int_{0}^{\infty}\frac{dk}{2\pi}\sum_{a\sigma}\psi_{ak\sigma}(x)\psi_{ak\sigma}^(x')=\delta(x - x')$$

对于不同方向的波函数令

$$\psi_{a,k,+1}(x)\equiv u_{ak}(x)$$

$$\psi_{a,k, - 1}(x)\equiv v_{ak}(x)$$

根据入射方向σ，波函数左侧区域定义：

入射波为  $σ=+1$

$$u_{ak}(x)=e^{ikx}|a\rangle+\sum_{b} r_{ba}^{L}e^{-ikx}|b\rangle$$

含入射项$e^{ikx}$和反射项（系数$r_{ba}^L$）。

透射波为 $σ=−1$

$$v_{ak}(x)=\sum_{b} t_{ba}^{R}e^{-ikx}|b\rangle$$

仅含透射项（系数$t_{ba}^L$）。

右侧区域:

透射波为 $σ=+1$

$$u_{ak}(x)=\sum_{b} t_{ba}^{R}e^{ikx}|b\rangle$$

仅含透射项（系数$t_{ba}^R$）。

入射波为 $σ=−1$

$$v_{ak}(x)=e^{-ikx}|a\rangle+\sum_{b} r_{ba}^{R}e^{ikx}|b\rangle$$

含入射项$e^{ikx}$和反射项（系数$r_{ba}^R$）。

通过归一化和完备性条件，可推导出系数矩阵$r^L,t^L,r^R,t^R$的约束：

概率守恒（来自归一化条件）：

$$\bar{r}^{L}r^{L}+\bar{t}^{L}t^{L}=1, \\ \bar{r}^{R}r^{R}+\bar{t}^{R}t^{R}=1, \\ \bar{r}^{L}t^{R}+\bar{t}^{L}r^{R}=0,$$

时间反演对称性（来自完备性条件）：

$$r^{L}\bar{r}^{L}+t^{R}\bar{t}^{R}=1, \\ t^{L}\bar{t}^{L}+r^{R}\bar{r}^{R}=1, \\ r^{L}\bar{t}^{L}+t^{R}\bar{r}^{R}=0$$

电流矩阵元 $J_{ba}(x′)$的表达式包含两种类型：

$$\begin{aligned}&(k+k^{\prime})e^{i(k-k^{\prime})x^{\prime}}\quad\mathrm{(type~I),}\\&(k-k^{\prime})e^{i(k+k^{\prime})x^{\prime}}\quad\mathrm{(type~II),}\end{aligned}$$

当频率趋近于零时，只有$F_{ab}(x,x^{\prime})=F_{ab}(x,x^{\prime};\omega)+F_{ab}^*(x,x^{\prime};-\omega)$的实部对$F_{ab}$有贡献，虚部对应非稳态响应（如瞬态电流），在直流极限下被忽略。

$$F_{\alpha b}\to\sum_{\alpha\beta}J_{\alpha\beta}^a(x)J_{\beta\alpha}^b(x^{\prime})\frac{\pi\delta(\omega-\omega_{\beta\alpha})}{\omega_{\beta\alpha}}$$

其中 $ω_{ba}=ϵ_b−ϵ_a$，与波矢差 $k−k′$相关。

左侧的电流最终写为：

$$\begin{aligned}j_{a}^{L}&=\sum_{kk^{\prime}}\frac{1}{\epsilon^{\prime}-\epsilon}\pi\delta\left(\omega+\epsilon-\epsilon^{\prime}\right)\sum_{cc^{\prime}bco^{\prime}}J_{cc^{\prime}}^a\left(\sigma,\sigma^{\prime};L\right)J_{c^{\prime}c}^b\left(\sigma^{\prime},\sigma;L\right)E\\&-\frac{2}{i\left(\omega+i\eta\right)}\sum_{kk^{\prime}}\frac{1}{\epsilon^{\prime}-\epsilon}\sum_{cc^{\prime}\cos^{\prime}b}J_{cc^{\prime}}^a\left(\sigma,\sigma^{\prime};L\right)\int dx^{\prime}J_{c^{\prime}c}^b\left(\sigma^{\prime},\sigma;x^{\prime}\right)E_b\left(x^{\prime}\right),\end{aligned}$$

$ε' = ε_{k'}, ε = ε_k$,第二项的积分仅在导线区域进行，样品区域的影响已通过波函数的渐近形式隐含处理。

电流矩阵元可以写成

$$\begin{aligned}J_{c^{\prime}c}^{b}(u,u,x^{\prime})&=-\frac{i}{2m}\langle u_{c^{\prime}k^{\prime}}(x^{\prime})|b\rangle\frac{\partial}{\partial x^{\prime}}\langle b|u_{ck}(x^{\prime})\rangle\\&-\left(\frac{\partial}{\partial x^{\prime}}\langle u_{c^{\prime}k^{\prime}}(x^{\prime})|b\rangle\right)\langle b|u_{ck}(x^{\prime})\rangle,\end{aligned}$$

其中u由之前左侧的
$u_{ak}(x)=e^{ikx}|a\rangle+\sum_{b} r_{ba}^{L}e^{-ikx}|b\rangle$
给出，

$$\begin{aligned}J_{c^{\prime}c}^{b}(u,u;x^{\prime})=&\left(\frac{k+k^{\prime}}{2m}\right)(\delta_{c,c^{\prime}}\delta_{c,b}e^{i(k-k^{\prime})x}\\&-\overline{r}{c^{\prime}b}^{L}r{bc^{\prime}}^{L}e^{-i(k-k^{\prime})x^{\prime}}).\end{aligned}$$

要么$k = k'$使得每个指数项为 1，要么积分后得到 $\pi \delta(k - k')$。

令

$$J_{c^{\prime}c}^{b}(\sigma^{\prime}\sigma;x^{\prime})=v_{F}e^{-i(k-k^{\prime})x^{\prime}}K_{c^{\prime}c}^{b}(\sigma^{\prime},\sigma;x^{\prime})$$

$K = v_F^{-1} J|_{k=k'}$

$j_{a}^{L}$简化成：

$$j_{a}^{L}=\frac{1}{\pi}\mathcal{E}\sum_{b}S_{ab}^{LL}+\sigma(\omega)\sum_{b}(S_{ab}^{LL}E_{b}^{L}+S_{ab}^{LR}E_{b}^{R})$$

定义了一个四阶张量$S_{ab}^{nm}$，表示从电极 n 到 m、通道 a 到 b 的散射概率或电导贡献。它对中间通道 $c, c'$ 和自旋状态$\sigma, \sigma'$ 的求和.

$$S_{ab}^{nm}=\frac{1}{4}\sum_{\begin{array}{c}cc^{\prime}\\\sigma\sigma^{\prime}\end{array}}K_{cc^{\prime}}^{a}\left(\sigma,\sigma^{\prime};n\right)K_{c^{\prime}c}^{b}\left(\sigma^{\prime},\sigma;m\right)$$

其中，n 和 m 分别取 L 和 R 这两个值。

根据幺正关系化简：

$$\begin{aligned}&S_{ab}^{LL}=\frac{1}{2}(\delta_{ab}-\hat{R}{ba}^{L}),\\&S_{ab}^{LR}=\frac{1}{2}\hat{T}_{ba}^{L},\end{aligned}$$

$$\hat{R}_{ab}^{L}=\frac{1}{2}(\mid r_{ab}^{L}\mid^{2}+\mid r_{ba}^{L}\mid^{2}),\hat{T}_{ab}^{L}=\frac{1}{2}(\mid t_{ab}^{L}\mid^{2}+\mid t_{ba}^{R}\mid^{2}).$$

若样品具有时间反演不变性，此时，$\hat{R}_{ab}^L$和$\hat{T}_{ab}^L$与之前定义的传统反射、透射概率一致。

将$S_{ab}^{LL},S_{ab}^{LR}$带入 $j_{a}^{L}$进一步化简

$$j_{a}^{L}+\sum_{b}R_{ba}^{L}j_{b}^{L}-\sum_{b}T_{ba}^{L}j_{b}^{R}=\frac{1}{\pi}\sum_{b}T_{ba}^{L}\xi$$

这个式子与之前推导的是通用的

$$j_a^L+\sum_b R_{a b}^L j_b^L-\sum_b T_{a b}^R j_b^R=\frac{e}{\pi \hbar} \sum_b T_{a b}^R \mathcal{E}$$

$$j_a^R+\sum_b R_{a b}^R j_b^L-\sum_b T_{a b}^L j_b^R=\frac{e}{\pi \hbar} \sum_b T_{a b}^L \mathcal{E} .$$

当无序导致不同横向动量通道的电流 $j_{a}^{L} \neq j_{b}^{L}$时，根据$j_{a}^{L}$定义: $j_{a}^{L} = \sigma(\omega) E_{b}^{L},$似乎需要动量相关的电场 $E_{a}^{L} \neq E_{b}^{L}$，这与传统认为的均匀电场假设矛盾。

对于自由电子气，速度$v_F$和态密度$\rho_F = (2\pi v_F)^{-1}$的乘积 $v_F \rho_F = \frac{1}{2\pi}$与通道无关。因此，电流差异 $j_a \neq j_b$味着载流子密度$n_a \neq n_b$，因为：$j_a = e n_a v_F \implies n_a = \frac{j_a}{e v_F}.$

直接处理密度梯度需要引入等效虚拟场$E_{\text{eff}}$，其作用是平衡不同通道的密度差异。此时，动量相关的电场 $E_a$实际上是这些虚拟场的宏观表现，而非真实的外加电场。

总的来说，传统欧姆定律 $j = \sigma E$ 隐含均匀电场假设，但在多通道系统中需修正为：
$j_a = \sigma_{ab} E_b$，其中$\sigma_{ab}$ 为电导率张量，反映通道间的耦合。

通过密度梯度  $\nabla n_a$与泊松方程$\nabla \cdot E_{\text{eff}} = \frac{e}{\epsilon_0} (n_a - n_b)$，可将密度差异转化为等效电场$E_{\text{eff}, a}$。

不同通道的处理

前面的推导假设所有通道具有相同的渐近行为（相同的速度、态密度）。

修正：对每个通道 a，定义独立的散射振幅。 $r_{ab}, t_{ab}$，反映通道间的耦合。引入通道权重因子 $\sqrt{v_a/v_b}$（$v_a$ 为通道 a 的费米速度），以保持概率守恒。

通过引入通道权重和修正散射矩阵，之前的结论依然成立。

参考资料

https://doi.org/10.1103/PhysRevB.24.2978