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时间反演算符

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时间反演算符T用于描述系统在时间反演操作下（ T:t→−tT:t\to -t）的对称性。

时间反演算符是一种反幺正算符（反线性的幺正算符），这意味着它不仅对态矢量起作用，还要对复数系数取共轭，即满足：

T(α∣ψ⟩+β∣ϕ⟩)=α∗T∣ψ⟩+β∗T∣ϕ⟩.T(\alpha|\psi\rangle+\beta|\phi\rangle)=\alpha^* T|\psi\rangle+\beta^* T|\phi\rangle.

也满足

TT†=T†T=ITT^{\dagger}=T^{\dagger}T=I

这与普通的幺正算符（线性算符）的性质明显不同，后者满足 U(α∣ψ⟩+β∣ϕ⟩)=αU∣ψ⟩+βU∣ϕ⟩.U(\alpha|\psi\rangle+\beta|\phi\rangle)=\alpha U|\psi\rangle+\beta U|\phi\rangle.

在量子力学中，如果一个哈密顿量HH 与时间反演算符对易，即

[T,H]=0,[T,H]=0,

则该系统具有时间反演对称性。

表示形式

时间反演算符的具体表达形式取决于系统的内禀自由度（例如是否包含自旋）：

无自旋（spinless）系统

间反演算符通常可简化为单纯的复共轭操作，即

T=KT=K

其中 KK 表示取复共轭。在这种情况下，由于K2=1K^2 = 1，故 T2=1T^2=1。

复共轭操作 KK 是一种基本的反线性操作，它的作用是在给定的基底下将态矢量中的复数系数取共轭。

具体来说，若在某个固定的正交归一基底 {∣n⟩}\{|n\rangle\}下，一个态矢量表示为

∣ψ⟩=∑ncn∣n⟩|\psi\rangle=\sum_nc_n|n\rangle

那么复共轭操作 KK 的作用是

K∣ψ⟩=∑ncn∗∣n⟩.K|\psi\rangle=\sum_nc_n^*|n\rangle.

由于 KK 反线性算符，它没有一个传统意义下的矩阵表示（或严格说，取决于所选的基）

有自旋（spinful）系统

以自旋12\frac{1}{2}为例，时间反演算符常写成

T=UK=iσyK,T=UK=i\sigma_yK,

保证了自旋算符在时间反演下满足

TST−1=−S.T\mathbf{S}T^{-1}=-\mathbf{S}.

对于这类系统，由于 T2=−1T^2 = -1，这直接导致了克莱默定理：所有具有半整数自旋的系统，其能级至少呈现二重简并。

部分证明

K2=IK^2=I

对于复共轭操作 KK，在固定的正交归一基底下，如果

∣ψ⟩=∑ncn∣n⟩|\psi\rangle=\sum_nc_n|n\rangle

K∣ψ⟩=∑ncn∗∣n⟩.K|\psi\rangle=\sum_nc_n^*|n\rangle.

再应用一次 K 得到

K(K∣ψ⟩)=∑n(cn∗)∗ ∣n⟩=∑ncn ∣n⟩=∣ψ⟩.K\bigl(K|\psi\rangle\bigr) = \sum_n (c_n^*)^*\,|n\rangle = \sum_n c_n\,|n\rangle = |\psi\rangle.

因此

K2=I.K^2 = I.

自旋 1/2系统，T2=−IT^2 = -I

对于自旋 1/2系统通常选取

T=UK=iσyK,    σy=(0−ii0).T=UK=i\sigma_yK,\,\,\,\,\sigma_y=\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}.

T2=(UK)(UK).T^2=(UK)(UK).

KKK是反线性的，但当它作用在一个普通算符上时，有

K U=U∗ KK\,U = U^*\,K

这是因为

K(U∣ψ⟩)=K(U∑ncn∣n⟩)=∑m,nUmn∗cn∗∣m⟩=KU∣ψ⟩=U∗K∣ψ⟩\begin{aligned}K^{}\left(U|\psi\rangle\right)&=K^{}\left(U\sum_{n}c_{n}^{}|n\rangle\right)\\&=\sum_{m,n}U_{mn}^{*}c_{n}^{*}|m\rangle\\&=KU|\psi\rangle=U^*K|\psi\rangle\end{aligned}

因此

T2=UKUK=U(KU)K=UU∗K2T^{2}=UKUK=U(KU)K=UU^{*}K^{2}

T2=UU∗.T^{2}=UU^{*}.

已知U=iσyU=i\sigma_y，显然UU∗=−IUU^{*}=-I
，因此T2=−IT^2=-I。

能级至少呈现二重简并

设系统具有时间反演对称性，即系统的哈密顿量H 与时间反演算符T 对易

[T,H]=0[T,H]=0

因此，若∣ψ⟩|\psi\rangle是H 的本征态，满足

H∣ψ⟩=E∣ψ⟩H|\psi\rangle=E|\psi\rangle

则利用对易性有

H(T∣ψ⟩)=TH∣ψ⟩=E T∣ψ⟩H\bigl(T|\psi\rangle\bigr) = T H|\psi\rangle = E\,T|\psi\rangle

也就是说， T∣ψ⟩T|\psi\rangle同样是能量E 的本征态。

假设对于某个能量E的本征态 ∣ψ⟩|\psi\rangle是非简并的，即没有其它独立的本征态。那么必有

T∣ψ⟩=eiϕ∣ψ⟩T|\psi\rangle=e^{i\phi}|\psi\rangle

对该等式再施加一次T 得到：

T2∣ψ⟩=T(eiϕ∣ψ⟩)=e−iϕT∣ψ⟩=e−iϕeiϕ∣ψ⟩=∣ψ⟩T^2|\psi\rangle=T\left(e^{i\phi}|\psi\rangle\right)=e^{-i\phi}T|\psi\rangle=e^{-i\phi}e^{i\phi}|\psi\rangle=|\psi\rangle

然而，由于对于半整数自旋系统已知 T2=−IT^2 = -I，因此应有

T2∣ψ⟩=−∣ψ⟩T^2|\psi\rangle = -|\psi\rangle

两式对比便得到

∣ψ⟩=−∣ψ⟩|\psi\rangle = -|\psi\rangle

这只能成立于∣ψ⟩=0|\psi\rangle = 0，但这与 ∣ψ⟩|\psi\rangle 为非零本征态矛盾。

因此，假设非简并必然导致矛盾，即对于任一能量E 的本征态∣ψ⟩|\psi\rangle（具有半整数自旋的系统）， T∣ψ⟩T|\psi\rangle 必须是与 ∣ψ⟩|\psi\rangle 正交的另一独立本征态，且它们均对应能量E。这就说明每个能级至少呈现二重简并。

物理学量受时间反演变换的影响

时间反演后不变：位置 x⃗\vec{x}；加速度 a⃗\vec{a}；力 f⃗\vec{f}；能量E；电势 ϕ\phi；电场 E⃗\vec{E}、电位移  D⃗\vec{D}、电荷密度  ρ\rho、电极化强度 P⃗\vec{P}、电场能量密度、麦克斯韦应力张量；以及质量、电荷、耦合常数等。

时间反演后变号：时间t；速度v⃗\vec{v}；动量p⃗\vec{p}；角动量l⃗\vec{l}；电磁失势A⃗\vec{A}；磁感应强度B⃗\vec{B}；磁场强度H⃗\vec{H}；电流密度J⃗\vec{J}；磁化强度M⃗\vec{M}，功率。

还有一个将在后面详细推导的贝里曲率B⃗\vec{B}，时间反演对称性下的贝里曲率是奇函数，空间反演对称性下的贝里曲率是偶函数。