时间反演和空间反演对称下的贝里曲率

时间反演对称性下的贝里曲率是奇函数，空间反演对称性下的贝里曲率是偶函数。

贝里曲率基本公式

贝里联络：

$$A_{n}(\boldsymbol{k})=i\langle u_{n}(\boldsymbol{k})|\frac{\partial}{\partial\boldsymbol{k}}|u_{n}(\boldsymbol{k})\rangle$$

贝里曲率：

$$\Omega_n(\boldsymbol{k})=\nabla_{\boldsymbol{k}}\times A_n(\boldsymbol{k})$$

对贝里曲率的公式进行简化，考虑z方向

$$\begin{aligned} \Omega_z(\boldsymbol{k})=&\frac{\partial}{\partial k_x}i\langle u(\boldsymbol{k})|\frac{\partial}{\partial k_y}|u(\boldsymbol{k})\rangle\\ &-\frac{\partial}{\partial k_y}i\langle u(\boldsymbol{k})|\frac{\partial}{\partial k_x}|u(\boldsymbol{k})\rangle \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \Omega_z(\boldsymbol{-k})=&\frac{\partial}{\partial (-k_x)}i\langle u(\boldsymbol{-k})|\frac{\partial}{\partial (-k_y)}|u(\boldsymbol{-k})\rangle\\ &-\frac{\partial}{\partial (-k_y)}i\langle u(\boldsymbol{-k})|\frac{\partial}{\partial (-k_x)}|u(\boldsymbol{-k})\rangle \end{aligned}$$

时间反演对称性

有 $u(-k)=u(k)^{*}$，得：

$$\Omega_z(-k)=\frac{\partial}{\partial k_x}i\langle u(k)^*|\frac{\partial}{\partial k_y}|u(k)^*\rangle$$

已知贝里曲率为实数，对整体求复数共轭，得：

$$\begin{aligned}\Omega_{z}(-k)=\Omega_{z}^{*}(-k)&=\frac{\partial}{\partial(-k_{x})}(-i)\langle u(k)|\frac{\partial}{\partial(-k_{y})}|u(k)\rangle\\&=-\frac{\partial}{\partial k_{x}}i\langle u(k)|\frac{\partial}{\partial k_{y}}|u(k)\rangle\\&=-\Omega_{z}(k)\end{aligned}$$

这里只考虑单独一条带的情况。

空间反演对称性

有 $u(-k)=u(k)$

$$\Omega_z(-k)=\frac{\partial}{\partial k_x}i\langle u(k)^|\frac{\partial}{\partial k_y}|u(k)\rangle=\Omega_z(k)$$

贝里曲率为实数证明

利用态矢量的正交归一性： $\langle u(\mathbf{R}) | u(\mathbf{R}) \rangle = 1$，于是有： $\partial_i \langle u(\mathbf{R}) | u(\mathbf{R}) \rangle = 0$，将这个导数展开得到：

$$\langle \partial_i u(\mathbf{R}) | u(\mathbf{R}) \rangle = - \langle u(\mathbf{R}) | \partial_i u(\mathbf{R}) \rangle$$

因此 $\langle u(\mathbf{R}) | \partial_i u(\mathbf{R}) \rangle$ 为纯虚数，因此， $A_i^*(\mathbf{R}) = A_i(\mathbf{R})$，即贝里联络为实数。贝里联络求导的贝里曲率也为实数。这里的证明是极限导数的情况，如果是离散的数值计算，结果为复数，但虚部为趋于无穷小。