陈数Chern number的计算

陈数Chern number的计算和推导

定义 $\gamma_{12}$代表两个非正交态 $|\psi_1\rang,|\psi_2\rang$之间的相位差：

$$\gamma_{12}=-arg\lang\psi_1|\psi_2\rang=arg\lang\psi_2|\psi_1\rang$$

很显然对于一个全局的规范变换：所有态矢量同时加上一个相同的相位$\alpha$不会影响前面定义的相对相位。也就是说相对相位是具有全局规范对称性的，但是很显然不满足局域规范对称：

$$|\psi_j\rang\to e^{i\alpha_j}|\psi\rang$$

$$\gamma_{12}=arg\lang\psi_j|\psi_i\rang+i(\alpha_i-\alpha_j)$$

Berry相位

Berry相位的定义是在希尔伯特空间中取大于等于3个态，然后环绕一圈得到的相位差之和：

$$\gamma_L=-arg(\lang\psi_1|\psi_2\rang...\lang\psi_N|\psi_1\rang)$$

也可以写成投影算符的形式

$$\gamma_L=-argTr(|\psi_1\rang\lang\psi_1|\psi_2\rang\lang\psi_2|...|\psi_N\rang\lang\psi_N|)$$

Berry联络（Berry Connection）

Berry联络的意义是：态矢量在曲线上移动单位距离时，相位对应的变化。

考虑周期系统中的布洛赫波函数$∣u_n(k)⟩$，其中n为能带指标，k为动量。Berry联络定义为：

$$\mathbf{A}n(\mathbf{k}) = i\langle u_n(\mathbf{k})|\nabla{\mathbf{k}}u_n(\mathbf{k})\rangle$$

Berry联络描述能带在动量空间中的局部几何相位变化。

若波函数作规范变换$|u_n(\mathbf{k})\rangle\rightarrow e^{i\theta(\mathbf{k})}|u_n(\mathbf{k})\rangle$，则$\mathbf{A}_n\rightarrow\mathbf{A}_n - \nabla_{\mathbf{k}}\theta(\mathbf{k})$Berry联络是不满足局域规范变换的。

很容易写出Berry相位：

$$\gamma=-\arg\exp\left[-i\oint \boldsymbol{A}\cdot d\boldsymbol{R}\right].$$

Berry曲率（Berry Curvature）

Berry曲率为Berry联络的旋度

$$\mathbf{B}_n(\mathbf{k})=\nabla_{\mathbf{k}}\times\mathbf{A}_n(\mathbf{k})$$

在二维动量空间中，分量形式为：

$$B_{xy}^{(n)}(\mathbf{k})=\partial_{k_x}A_y^{(n)}-\partial_{k_y}A_x^{(n)}$$

$B_{xy}^{(n)}$在规范变换下不变。曲率反映参数空间局部几何结构的“弯曲”。

Chern数

第n个能带的Chern数为Berry曲率在Brillouin区上的积分：

$$C_n=\frac{1}{2\pi}\int_{\mathrm{BZ}}B_{xy}^{(n)}(\mathbf{k})dk_xdk_y$$

$C_n$为整数，与BZ的拓扑（如环面$T^2$）特性相关。类似于磁通量子化，BZ闭合性导致积分结果为的整数倍。

若BZ为无边界闭合流形，积分：

$$C_n=\frac{1}{2\pi}\int_{\mathrm{BZ}}B=\frac{1}{2\pi}\oint_{\partial\mathrm{BZ}} A$$

但由于BZ无边界，积分结果必须为整数，验证了Chern数的量子化。

二能级体系

两个能级系统的哈密顿量：

$$H(d)=d_x\sigma_x + d_y\sigma_y + d_z\sigma_z=\boldsymbol{d}\cdot\boldsymbol{\sigma}$$

其中$d = (d_x, d_y, d_z)$ 是三维空间中的一个向量。

由于泡利矩阵的反对易关系，这意味着哈密顿量H(d)的特征值的绝对值是|d|，也就是向量d的长度。

哈密顿量 $H(d)$可以在 Bloch 球面上表示，Bloch 球面上的每一点对应着 $H(d)$的一个方向，球面的两个角度 $\theta$和 $\phi$定义为：

$$\begin{aligned} \cos\theta&=\frac{d_z}{|\boldsymbol{d}|}\\ e^{i\phi}&=\frac{d_x + id_y}{\sqrt{d_x^2 + d_y^2}} \end{aligned}$$

考虑到哈密顿量的本征态$|+_d\rangle$和$|-_d\rangle$，它们分别满足：

$$\hat{H}(\mathbf{d})|\pm_{\mathbf{d}}\rangle = \pm|\mathbf{d}||\pm_{\mathbf{d}}\rangle.$$

$$|+_{\mathbf{d}}\rangle = e^{i\alpha(\theta,\varphi)}\begin{pmatrix} e^{-i\varphi/2}\cos\theta/2\\ e^{i\varphi/2}\sin\theta/2 \end{pmatrix},$$

$$|-_{\mathbf{d}}\rangle = e^{i\beta(\mathbf{d})}|+_{-\mathbf{d}}\rangle$$

首先，我们定义了Berry向量势 $A(d)$ 为：

$$\mathbf{A}(\mathbf{d}) = i\langle -{\mathbf{d}}|\nabla{\mathbf{d}}|-_{\mathbf{d}}\rangle.$$

然后，Berry相位可以表示为沿着曲线积分Berry向量势的线积分：

$$\gamma_-(\mathcal{C}) = \oint_{\mathcal{C}}\mathbf{A}(\mathbf{d})d\mathbf{d},$$

根据Berry相位的定义，它可以通过计算Berry曲率来简化：

$$\begin{aligned} \mathbf{B}(\mathbf{d})&=\nabla_{\mathbf{d}}\times\mathbf{A}(\mathbf{d});\\ \gamma_-(\mathcal{C})&=\int_{\mathcal{S}}\mathbf{B}(\mathbf{d})d\mathcal{S}, \end{aligned}$$

对于一个通用的两能级哈密顿量$H(d)$，Berry曲率的公式是：

$$\mathbf{B}^{\pm}(\mathbf{d})=-\mathrm{Im}\frac{\langle\pm|\nabla_{\mathbf{d}}\hat{H}|\mp\rangle\times\langle\mp|\nabla_{\mathbf{d}}\hat{H}|\pm\rangle}{4\mathbf{d}^2}$$

已知 $\nabla_{\mathbf{d}}\hat{H}=\boldsymbol{\sigma}，|+_{\mathbf{d}}\rangle=\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}， |-_{\mathbf{d}}\rangle=\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}$。然后计算矩阵元素：

$$\langle -| \hat{\sigma}_x | + \rangle = (0\ 1) \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = 1,$$

$$\langle -| \sigma_y | + \rangle = i;$$

$$\langle -| \sigma_z | + \rangle = 0.$$

$$\langle -| \hat{\boldsymbol{\sigma}} | + \rangle\times\langle +| \hat{\boldsymbol{\sigma}} | - \rangle = \begin{pmatrix} 1 \\ i \\ 0 \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} 1 \\ - i \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2i \end{pmatrix}$$

$$B^{\pm}(\mathbf{d}) = \pm\frac{\mathrm{d}}{\vert\mathbf{d}\vert}\frac{1}{2\mathrm{d}^2}$$

定义法

先是计算贝里联络 (Berry connection)，然后再计算贝里曲率 (Berry curvature)，积分得到陈数 (Chern number)

$$\begin{aligned} c_n&=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\int_{T^2}\mathrm{d}^2k F_{12}(k),\\ A_{\mu}(k)&=\langle n(k)|\partial_{\mu}|n(k)\rangle,\\ B_{12}(k)&=\partial_1 A_2(k)-\partial_2 A_1(k) \end{aligned}$$

需要选定一个规范，使得局域的波函数连续。

在数值上可以写代码去搜索找个近似的规范 ，使得波函数连续，但在计算效率上又降低很多了。

Wilson loop方法

陈数实际上是贝里曲率的积分

$$\mathbf{B}_n(\mathbf{k})=\nabla_{\mathbf{k}}\times\mathbf{A}_n(\mathbf{k})$$

作为

$$\gamma = \int_{\mathcal{S}}\mathbf{B}\ d^2\mathbf{k},$$

从数值上来说，计算积分更为方便 $\gamma$将它们分解成小块。这样

$$\gamma = \sum_n\int_{\mathcal{Bl_n}}\mathbf{B}\ d^2\mathbf{k}=\sum_n\oint_{\mathcal{Bl_n}}\mathbf{A}\ d\mathbf{k}$$

被分解成块

$$\gamma_n = i\oint_{\mathcal{C}}\langle u(k)|\nabla|u(k)\rangle \ d\mathbf{k}$$

对于足够小的块 $\gamma_n$ 很小，可以计算指数

$$e^{i\gamma_n}=e^{\oint_{Bl_n}d\mathbf{k}\cdot\langle u(\mathbf{k})|\nabla(|\mathbf{u}(\mathbf{k})))}=\prod_pe^{\delta\mathbf{k}_{n,p}\cdot\langle u(\mathbf{k}_{n,p})|\nabla(|\mathbf{u}(\mathbf{k}_{n,p})\rangle)}\approx\prod_p(1+\delta k_{n,p}\langle u(\mathbf{k}_{\mathbf{n,p}})|\nabla(|\mathbf{u}(\mathbf{k}_{\mathbf{n,p}})\rangle)\approx\prod_{\mathrm{p}}\langle\mathbf{u(k_{n,p})|u(k_{n,p+1})}\rangle$$

小板上的通量可以计算为

$$\gamma_n=\mathrm{Arg}(\prod_p\langle u(\mathbf{k}_{n,p})|u(\mathbf{k}_{n,p+1})\rangle).$$

该方法的优点在于它是规范不变的，可以通过乘以每个波函数来检查 $|u(\mathbf{k}_{n,p})\rangle\to e^{i\varphi(\mathbf{k}_{n,p})}|u(\mathbf{k}_{n,p})\rangle$