SSH模型

SSH模型哈密顿量和边界态

SSH模型描述一维二聚化链（如聚乙炔）中的电子跃迁。链由两种子晶格（A和B）交替排列，跃迁强度在相邻原子间交替变化（ $\nu$和 $w$），形成二聚化结构。

实空间哈密顿量

$$H = v\sum_{m = 1}^{N}(|m,B\rangle\langle m,A|+h.c.)+w\sum_{m = 1}^{N - 1}(|m + 1,A\rangle\langle m,B|+h.c.)$$

也可以表示为

$$\hat{H}=\sum_{n}(wc_{A,n}^{\dagger}c_{B,n}+wc_{B,n}^{\dagger}c_{A,n + 1}+h.c.)$$

$c_{A,n}^{\dagger}$和$c_{B,n}^{\dagger}$为子晶格A和B在第n个原胞的电子产生算符。

$\nu$和 $w$分别为原胞内和原胞间的跃迁强度。

动量空间哈密顿量

$$\hat{H}(k)=\begin{pmatrix}0&v + we^{-ik}\\v + we^{ik}&0\end{pmatrix}=d_x(k)\sigma_x + d_y(k)\sigma_y$$

$d_x(k)=\nu+w cosk$，$d_x(k)=w sink$

手征对称性强制$d_z=0$，且矩阵形式为分块反对角化。

能带结构与对称性

能谱由哈密顿量对角化解得：

$$E(k)=\pm\sqrt{d_x^2 + d_y^2}=\pm\sqrt{v^2 + w^2+2vw\cos k}$$

能带关于E=0对称，这是手征对称性（ $\Gamma=\sigma_z$）的直接结果。

能带特征

当 $\nu \neq w$时，能隙$\Delta=2|v - w|$，系统为绝缘体。

当 $\nu = w$时，能隙在$k=\pi$处闭合，系统经历拓扑相变。

卷绕数（Winding Number）

缠绕数是SSH模型的拓扑不变量，表征哈密顿量在动量空间中绕原点的“圈数”。具体公式为：

$$W=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\frac{d\phi(k)}{dk}dk$$

其中$\phi(k)=\arg[h(k)]=\arg(v + we^{-ik})$为复函数$h(k)=v + we^{-ik}$的相位角。

在 $d_x-d_y$平面上，矢量$\mathbf{d}(k)=(d_x(k),d_y(k))$随 $k$从 $-\pi$到$\pi$变化时形成闭合曲线。

若 $d(k)$的轨迹包围原点( $\nu \lt w$)，则W=1（非平庸相）。

若轨迹不包围原点( $\nu \gt w$)，则W=0（非平庸相）。

开放边界条件下的零能模

在开放边界条件下（有限长链），哈密顿量的对角化显示：

非平庸相( $\nu \lt w$)：链两端存在能量严格为零的局域态，波函数仅分布在子晶格A或B上。

平庸相( $\nu \gt w$)：无零能态，所有态为扩展态。

SSH模型的普适性

高阶拓扑：二维SSH模型（如蜂窝晶格）可展示高阶拓扑态（角态）。

非厄米效应：引入增益/损耗（非厄米项）后，零能模可能演化为奇异点（Exceptional Points）。

拓扑绝缘体：SSH模型是拓扑绝缘体在一维的最简实现，其思想可推广至二维（如Chern绝缘体）。

完全二聚化极限与边界态

极限一：$w=0$

此时只存在胞内跃迁，整个链被分解为各自独立的二聚体（dimer）。每个原胞内的两个格点形成一个完整的二聚体，整个系统没有连接相邻原胞的跃迁。在这种情况下，能带呈现平直（平带），且没有额外的孤立边界态出现。

极限二：$\nu=0$

这时仅有胞间跃迁存在，链上的原胞间链接发生重构。由于每个二聚体跨越了两个原胞，链的两端会多出一个未配对的格点。这两个孤立的末端格点没有跃迁伙伴，其对应的能量由于没有任何跃迁贡献而恰为零。

因此，在$\nu=0$极限下，可以严格地证明：链的两端各出现一个零能态。这正是边界态的最简单实例，表明系统处于拓扑非平凡相（因为$0<\nu<w$这一延拓情形与$\nu=0$ 极限连续相连）。

边界态

从实空间哈密顿量开始

$$H = v\sum_{m = 1}^{N}(|m,B\rangle\langle m,A|+h.c.)+w\sum_{m = 1}^{N - 1}(|m + 1,A\rangle\langle m,B|+h.c.)$$

假设共有N 个原胞（单元格），每个原胞中有两个不同的格点，称之为 A 子格点和 B 子格点。用以下符号表示这些状态：

$|m,A\rang$表示第 $m$个原胞中 $A$子格点上的电子态；

$|m,B\rang$表示第 $m$个原胞中 $B$子格点上的电子态；

这里 $m=1,2,3...N$

SSH 模型中的电子只能在相邻格点之间跃迁，而这种跃迁分为两种：

胞内跃迁（Intra-cell Hopping）

在同一个原胞内部，电子可以从 A 子格点跃迁到 B 子格点，跃迁幅度为$\nu$（一般认为$\nu$为一个正实数）。这部分跃迁用数学表达式写作：

$$H_{intra} = v\sum_{m = 1}^{N}(|m,B\rangle\langle m,A|+h.c.)$$

胞间跃迁（Inter-cell Hopping）

相邻原胞之间，电子可以从第$m$个原胞的 B 子格点跃迁到第$m+1$个原胞的 A 子格点，跃迁幅度为$w$。用数学表达为：

$$H_{inter} = w\sum_{m = 1}^{N - 1}(|m + 1,A\rangle\langle m,B|+h.c.)$$

注意这里的求和到N−1，因为第N个原胞的 B 子格点没有后继原胞可以跃迁（这对应开链边界条件）。

矩阵表示

为了更直观地看到哈密顿量的结构，我们可以选择一个基底并将H 写成矩阵形式。通常的基底顺序选择为：

$$|1,A\rangle,|1,B\rangle,|2,A\rangle,|2,B\rangle,\cdots,|N,A\rangle,|N,B\rangle$$

对于N=2的系统，基底共有 4 个态（4x4矩阵）：

$$|1,A\rangle,|1,B\rangle,|2,A\rangle,|2,B\rangle$$

接下来写出矩阵的非零元素：

胞内跃迁项

对 $m=1$：第 1 个原胞：$|1,A\rangle\leftrightarrow|1,B\rangle$

$\langle 1,A|\hat{H}|1,B\rangle = v$（1B 到 1A ）和$\langle 1,B|\hat{H}|1,A\rangle = v$（1A 到 1B）

因此，矩阵中第 1 行第 2 列和第 2 行第 1 列的元素均为$v$

对 $m=2$：第 2个原胞：$|2,A\rangle\leftrightarrow|2,B\rangle$

$\langle 2,A|\hat{H}|2,B\rangle = v$和$\langle 2,B|\hat{H}|2,A\rangle = v$

因此，矩阵中第 2 行第 3 列和第 3 行第 2 列的元素均为$v$

胞间跃迁项

对 $m=1$：第 1 个原胞：$|1,B\rangle\leftrightarrow|2,A\rangle$

$\langle 1,B|\hat{H}|2,A\rangle = w$和$\langle 2,A|\hat{H}|1,B\rangle = w$

因此，矩阵中第 2行第3 列和第3 行第2 列的元素均为$w$

$$H=\begin{pmatrix}0&v&0&0\\v&0&w&0\\0&w&0&v\\0&0&v&0\end{pmatrix}$$

同样的对于N=4

$$|1,A\rangle,|1,B\rangle,|2,A\rangle,|2,B\rangle,|3,A\rangle,|3,B\rangle,|4,A\rangle,|4,B\rangle$$

$$H=\begin{pmatrix}0&v&0&0&0&0&0&0\\v&0&w&0&0&0&0&0\\0&w&0&v&0&0&0&0\\0&0&v&0&w&0&0&0\\0&0&0&w&0&v&0&0\\0&0&0&0&v&0&w&0\\0&0&0&0&0&w&0&v\\0&0&0&0&0&0&v&0\end{pmatrix}$$

体–边界对应与保护机制

SSH 模型中一个最重要的理论成果是体–边界对应原理，即 bulk 的拓扑不变量（如缠绕数）决定了有限系统边界上零能态的数目：

若 bulk 缠绕数为 1（拓扑非平凡相， $v<w$），有限开链必然出现两个零能边界态（左右各一）。

若 bulk 缠绕数为 0（拓扑平凡相，$v>w$），则不存在边界态。
此外，SSH 模型具有手征（子晶格）对称性。这一对称性保证了哈密顿量中只允许发生从 A 子格点到 B 子格点的跃迁，从而使得：

每个非零能态必然成对出现（能量正负对称）。

零能态可以被选择为只在某一子晶格上存在，这也是边界态局域于某一侧的原因。

只要保持这一对称性（即不引入破坏子晶格对称性的项，如非对称的本征能或外加场），零能边界态就受到了拓扑保护，不会在局部扰动下消失。

两种傅里叶变换方法

傅里叶变换时坐标可以用实际原子坐标，也可以用元胞坐标。用原子坐标时，傅里叶变量元胞内有些跃迁项会增加相位，即  $e^{ika_{in}}$；而用元胞坐标时，傅里叶变换元胞内就没有增加相位，即$e^{0}$。两种方法计算的结果是一样的，但建议用元胞坐标，会更方便些，尤其是当元胞比较大的时候会简单很多。

实空间哈密顿量：

$$H=v\sum\limits_{m=1}^{N}(|m, B\rangle \langle m, A|+h.c.)+w\sum\limits_{m=1}^{N-1}(|m+1, A\rangle \langle m,B|+h.c.)$$

以元胞为单元的傅里叶变换

第一项傅里叶变换后得到：

$$H_1=\nu\sum\limits_k(|k, B\rangle\langle k, A|+h.c.)$$

第二项傅里叶变换后得到：

$$H_2=w\sum\limits_k(e^{-ik(2a)}|k, A\rangle\langle k, B|+h.c.)$$

其中，a为原子间距。令2a=1，因此哈密顿量写为：

$$H(k)=\begin{pmatrix}0 & \nu+w e^{-ik} \\\nu+w e^{ik} & 0\end{pmatrix}$$

以原子为单元的傅里叶变换

第一项傅里叶变换后得到：

$$H_1=\nu\sum\limits_k(e^{ka}|k, B\rangle\langle k, A|+h.c.)$$

第二项傅里叶变换后得到：

$$H_2=w\sum\limits_k(e^{-ika}|k, A\rangle\langle k, B|+h.c.)$$

其中，a为原子间距。 令2a=1，因此哈密顿量写为：

$$H(k)= \begin{pmatrix}0 & \nu e^{ik \frac{1}{2}}+w e^{-ik \frac{1}{2} } \\\nu e^{-ik \frac{1}{2}} +w e^{ik \frac{1}{2} } & 0\end{pmatrix}$$

本征值等价

第一个哈密顿量形式的本征值为：

$$E_1=\pm \sqrt{(\nu+w \cos k)^2+(w \sin k)^2}=\pm \sqrt{\nu^2+w^2+2\nu w \cos k}$$

第二个哈密顿量形式的本征值：

$$\begin{aligned}E_2&=\pm \sqrt{(v\cos (\frac{1}{2}k)+w\cos(\frac{1}{2}k))^2+ (v\sin(-\frac{1}{2}k)+w\sin( \frac{1}{2}k))^2}\\& =\pm \sqrt{(v+w)^2 \cos^2(\frac{1}{2}k)+ (-v+w)^2 \sin^2(\frac{1}{2}k) }\\&=\pm \sqrt{ \nu^2+w^2+2\nu w \cos k } \end{aligned}$$

键长不同的情况

当元胞内部的原子距离和元胞间距离不同时，即a1不等于a2，此时两种方法的结果也是一样，前提是统一标准，例如间距a1+a2=1。

不妨令a1+a2=1，哈密顿量的第一种形式：

$$H(k)=\begin{pmatrix}0 & \nu+w e^{-ik(a_1+a_2)} \\\nu+w e^{ik(a_1+a_2)} & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & \nu+w e^{-ik} \\\nu+w e^{ik} & 0\end{pmatrix}$$

哈密顿量的第二种形式：

$$H(k)= \begin{pmatrix}0 & \nu e^{ik a_1}+w e^{-ik a_2 } \\\nu e^{-ik a_1} +w e^{ik a_2 } & 0\end{pmatrix}$$

第一个形式和之前的相同，本征值也和之前的相同。

第二个形式的本征值为：

$$\begin{aligned}E_2&=\pm \sqrt{(v\cos (ka_1)+w\cos( ka_2))^2+ (v\sin(-ka_1)+w\sin( ka_2))^2}\\& =\pm \sqrt{(v+w)^2 +2vw\cos(ka_1)\cos(ka_2)-2vw\sin(ka_1)\sin(ka_2) }\\&=\pm \sqrt{ \nu^2+w^2+2\nu w \cos [k(a_1+a_2)] } \\&=\pm \sqrt{ \nu^2+w^2+2\nu w \cos k} \end{aligned}$$