BCS理论

费米面附近的电子通过交换声子形成配对状态，这种配对导致了电子能谱中出现能隙，从而解释了超导体的零电阻和完全抗磁性。

在常规超导体中，电子之间的库仑排斥作用被声子介导的吸引作用所克服，导致电子配对形成库珀对。
有效哈密顿量可以表示为：

$$H_{eff}=\frac{1}{2}\sum_{\substack{k,k'\\q,\sigma',\sigma}}V_{kq}C_{k+q,\sigma}^{\dagger}C_{k'-q,\sigma'}^{\dagger}C_{k'\sigma'}C_{k\sigma}$$

其中，$V_{kq}$是电子-声子相互作用势，其表达式为：

$$V_{kq}=\frac{2|D_q|^2\hbar\omega_q}{(\varepsilon_k-\varepsilon_{k+q})^2-(\hbar\omega_q)^2}$$

$|D_q|^2$是电子 - 声子耦合常数，$\hbar\omega_q$是声子能量，$\varepsilon_k$是电子能量。
当 $|\varepsilon_k-\varepsilon_{k+q}|<\hbar\omega_q$时，$V_{kq}$是负值，表现为吸引相互作用。
在费米面附近，能量差$|\varepsilon_k-\varepsilon_{k+q}|$较小，由于声学模声子的最大态密度在德拜频率附近，可以将随 $\omega_q$变化的吸引区近似用费米面附件厚度为$2\hbar\omega_D$的固定能壳区代替。
得到简化的哈密顿量：

$$H'=-\frac{1}{2}V\sum_{q,k_1,k_2}C_{k_1+q,\sigma_1}^{\dagger}C_{k_2-q,\sigma_2}^{\dagger}C_{k_2,\sigma_2}C_{k_1,\sigma_1}$$

当总动量 $K$为零时，整个球面都参与散射。因此，只需要考虑总波矢为 0 且自旋相反的情况，哈密顿量可以进一步简化为：

$$\overline{\cal H}=\sum_k\varepsilon_k(C_{k\uparrow}^{\dagger}C_{k\uparrow}+C_{-k\downarrow}^{\dagger}C_{-k\downarrow})-V\sum_{k,k'}C_{k\uparrow}^{\dagger}C_{-k'\downarrow}^{\dagger}C_{-k\downarrow}C_{k\uparrow}$$

$\varepsilon_k$是电子能量与费米能级的差值。
BCS波函数
首先考虑在已填满的费米球外附加两个电子的相互作用。
假设费米球内电子可当自由电子处理，只考虑附加电子之间的相互作用。由于散射，基态为具有不同$k$的粒子对的线性叠加，动量相反的两个电子的波函数可以写成：

$$\psi=\sum_ka_ke^{ikr_1}\cdot e^{-ikr_2}=\sum_ka_ke^{ik(r_1-r_2)}$$

考虑到$k_F$以上两个电子的自旋自由度，我们可以将波函数写为：

$$\psi=[\sum_{|k|>k_F}a_ke^{ik(r_1-r_2)}](S_\uparrow S_\downarrow-S_\downarrow S_\uparrow)$$

可以得到：

$$E=-2\hbar\omega_D\exp\left[-\frac{2}{g(0)V}\right]<0$$

薛定谔方程可写为：

$$[-\frac{\hbar^{2}}{2m}(\nabla_{1}^{2}+\nabla_{2}^{2})+V(r_{1}-r_{2})]\psi_{0}=E\psi_{0}\\\psi_{0}=\sum_{k}a_{k}e^{ik(r_{1}-r_{2})}$$

设$r=r_1-r_2$，对上式两边乘以$exp(-iqr)$并其进行全空间积分

$$\begin{aligned}\sum_{k}(E-\frac{\hbar k^{2}}{m})a_{k}e^{i(k-q)r}&=\sum_{k}a_{k}V(r)e^{i(k-q)r}\\\Rightarrow\sum_{k}(E-\frac{\hbar k^{2}}{m})a_{k}\int e^{i(k-q)r}dr&=\sum_{k}a_{k}\int V(r)e^{i(k-q)r}dr\\\Rightarrow2\pi\sum_{k}(E-\frac{\hbar k^{2}}{m})a_{k}\delta(k-q)&=\sum_{k}a_{k}\int V(r)e^{i(k-q)r}dr\\\Rightarrow2\pi(E-2\varepsilon_{q})a_{q}&=\sum_{p}V_{p}\sum_{k}a_{k}\int e^{i(k+p-q)r}dr\end{aligned}$$

$$\begin{aligned}(V(r)&=\sum_pV_pe^{ipr})\\V_{p}&=\frac{1}{L^{3}}\int V(r)e^{-ipx}dr\end{aligned}$$

$$\begin{aligned}&\Rightarrow2\pi(E-2\varepsilon_{q})a_{q}=2\pi\sum_{p}V_{p}\sum_{k}a_{k}\delta(p+k-q)\&\\\Rightarrow(E-2\varepsilon_{q})a_{q}=\sum_{p}V_{p}a_{q-p}\end{aligned}$$

$q=k;q-p=k-p=k^{\prime}$

$$\begin{aligned}(E-2\varepsilon_{k})a_{k}&=\sum_{k^{\prime}}V_{k-k^{\prime}}a_{k^{\prime}}\\V_{k-k^{\prime}}&=\frac{1}{L^{3}}\int V(r)e^{-i(k-k^{\prime})x}dr\end{aligned}$$

规定：

$$V_{k,k^{\prime}}=\left\{\begin{array}{cc}-V&k_F\leq|k|,|k^{\prime}|\leq k_m\\0&\textbf{other cases}\end{array}\right.\quad\frac{\hbar^2}{2m}(k_m^2-k_F^2)\approx\hbar w_c$$

只有费米能量附近的两个电子才能有强相互作用。

$$\begin{aligned}(E-2\varepsilon_{k})a_{k}&=\sum_{k^{\prime}}V_{k-k^{\prime}}a_{k^{\prime}}\\&=-V\sum_{k_{F}<|k^{\prime}|<k_{m}}a_{k^{\prime}}\end{aligned}$$

$$a_k=V\frac{\sum a_{k^{\prime}}}{(2\varepsilon_k-E)}$$

$$\begin{aligned}\sum_{k_{F}<|k|<k_{m}}a_{k}&=\sum_{k_{F}<|k^{\prime}|<k_{m}}a_{k^{\prime}}\sum_{k_{F}<|k|<k_{m}}\frac{V}{(2\varepsilon_{k}-E)}\\\Longrightarrow\frac{1}{V}&=\sum_{k_F<|k|<k_m}\frac{1}{(2\varepsilon_k-E)}\end{aligned}$$

考虑在费米面附近的能级上，状态数近似相等，不同能级间的能级差近似相等。

$$\begin{aligned}\frac{1}{V}&=\sum_{k_{F}<|k|<k_{m}}\frac{1}{(2\varepsilon_{k}-E)}\\&\approx\sum_{\varepsilon_{F}<\varepsilon_{|k|}<\varepsilon_{m}}Z(E_{F})\frac{1}{(2\varepsilon_{k}-E)}\\&=N(0)\int_{E_{F}}^{E_{F}+\hbar w_{c}}\frac{d\varepsilon}{2\varepsilon-E}\\&=N(0)\frac{1}{2}\mathrm{ln}(\frac{2E_{F}+2\hbar w_{c}-E}{2E_{F}-E})\end{aligned}$$

$(N(0)=\frac{Z(0)}{\delta\varepsilon})$，得到：

$$\exp({\frac{2}{N(0)V}})=1+\frac{2\hbar w_{c}}{2E_{F}-E}$$

$N(0)V\mathrm{\ll1}$

$$\exp({\frac{2}{N(0)V}})\approx1+\frac{2\hbar w_{c}}{2E_{F}-E}$$

$$E\approx2E_{F}-2\hbar w_{c}\exp(-\frac{2}{N(0)V})$$

因此存在两个电子的束缚态，其能量低于$2E_{F}$。
无论吸引力有多弱，电子系统的总能量都将低于电子气体的一个量级。势能的降低将使电子重组为低能状态，也就是超导状态。
BCS基态能量
对于声子介导的散射，$\psi_1$：$(k↑, -k↓)$占据，$(k'↑, -k'↓)$ 空；$\psi_2$：$(k↑, -k↓)$ 空，$(k'↑, -k'↓)$占据。
定义电子对$(k↑, -k↓)$为空态的概率为$|u_k|^2$，为占据态的概率为$|v_k|^2$，$|u_k|^2+|v_k|^2=1$。
电子的动能相对于费米能级（ $E_F = \frac{\hbar^2 k_F^2}{2m}$）的差值为：

$$\varepsilon_k=(\frac{\hbar^2k^2}{2m}-\frac{\hbar^2k_F^2}{2m})$$

总动能为

$$K=2\sum_k\varepsilon(k)v_k^2$$

吸引势能为

$$P=-\sum_{k,k^{\prime}}Vv_ku_{k^{\prime}}v_{k^{\prime}}u_k$$

成对电子产生的总能量为

$$E_{BCS}=\sum_{k}2\varepsilon(k)v_{k}^{2}+\sum_{k,k^{\prime}}-Vv_{k}u_{k^{\prime}}v_{k^{\prime}}u_{k}$$

将上述方程的导数等于0

$$2\varepsilon(k)v_k+\sum_{k^{\prime}}-Vu_{k^{\prime}}v_{k^{\prime}}\frac{\partial(v_ku_k)}{\partial v_k}=0$$

$$\frac{\partial(v_ku_k)}{\partial v_k}=\frac{\partial(v_k(1-v_k^2)^{\frac{1}{2}})}{\partial v_k}=\frac{1-2v_k^2}{\sqrt{1-v_k^2}}$$

$$2\varepsilon(k)v_{k}+\sum_{k^{\prime}}-Vu_{k^{\prime}}v_{k^{\prime}}\frac{1-2v_{k}^{2}}{\sqrt{1-v_{k}^{2}}}=0\Longrightarrow2\varepsilon(k)v_{k}+\frac{\Delta(1-2v_{k}^{2})}{\sqrt{1-v_{k}^{2}}}=0$$

令

$$\Delta(k)=\sum_{k^{\prime}}-Vu_{k^{\prime}}v_{k^{\prime}}\\2\varepsilon(k)v_{k}+\frac{\Delta(1-2v_{k}^{2})}{\sqrt{1-v_{k}^{2}}}=0$$

占据概率：

$$\begin{gathered}v_k^2=\frac{1}{2}[1-\frac{\varepsilon(k)}{\sqrt{\varepsilon^{2}(k)+\Delta^{2}}}]\\u_k^2=\frac{1}{2}[1+\frac{\varepsilon(k)}{\sqrt{\varepsilon^{2}(k)+\Delta^{2}}}]\end{gathered}$$

BCS基态能隙方程

$$\Delta(k)=\sum_{k^{\prime}}-Vu_{k^{\prime}}v_{k^{\prime}}=\frac{V}{2}\sum_{k^{\prime}}\frac{\Delta(k^{\prime})}{\sqrt{\varepsilon^2(k)+\Delta(k^{\prime})^2}}$$